30 de agosto de 2010

Teorema de Nyquist


O Teorema de Nyquist propõe o seguinte: A “amostra” do sinal analógico (frequência) deve ser colhida a uma taxa duas vezes maior ou igual ao espectro do sinal original obtido através de um receptor.

Para o entendimento da proposta de Nyquist temos os seguintes conhecimentos técnicos. Primeiramente temos um sinal analógico de audio qualquer. Posteriormente, recolhemos os pontos de frequencia do sinal com base no tempo representados por dígitos binários que podem variar em tamanho, por exemplo, 8, 16 ou 32 bits que serão interpretados por aparelhos específicos. Temos assim os sinais digitais de audio condificados. A operação inversa será a decodificação desde sinal em analógico.

Entendendo a condificação de sinal Analógico / Digital
Considere o sinal analógico mostrado na Figura 1. Vamos assumir que este é um sinal de áudio. O eixo “y” representa a tensão e o eixo “x” representa o tempo.

Figura 1: Um Sinal Analógico

O que o conversor analógico/digital faz é capturar amostras do sinal analógico ao longo do tempo. Cada amostra será convertida em um número (em bits), levando em consideração seu nível de tensão. Na Figura 2 você pode ver um exemplo de alguns pontos de amostragem em nosso sinal analógico.
           

Figura 2: Pontos de amostragens


A frequência com que a amostragem irá ocorrer é chamada de taxa de amostragem. Se a taxa de amostragem for de 44.100 Hz, isto significa que 44.100 pontos serão capturados por segundo.

Durante a codificação digital/analógico os bits são convertidos de volta em tensões. A forma de onda resultante da codificação digital/analógico não será perfeita, já que ela não terá todos os pontos do sinal analógico original, apenas alguns deles. Assim, e conversor digital/analógico conectará todos os pontos capturados pelo conversor analógico/digital e qualquer valor que existia originalmente entre esses pontos será descartado.


Sinal analógico original


Sinal depois de sofrida a decodificação Analógico/Digital – Digital/Analógico

Figura 3: Sinal digital depois de convertido

Na Figura 3, mostramos como o sinal ficaria após ser convertido para digital e de volta para analógico. O formato do gráfico original é bem mais arredondado nas pontas que o sinal do gráfico já convertido para digital.

Concluímos então que quanto maior é nossa taxa de amostragem, melhor será o nosso sinal digital convertido. Da mesma forma que o sinal digital/analógico, ou seja, convertendo o sinal digital para o original (analógico) será um sinal mais próximo do verdadeiro, com qualidade aproximada.

Por exemplo, se o conteúdo do sinal for uma música, a qualidade será suficientemente boa. Por outro lado, o espaço de armazenamento deste arquivo em disco será grande. Fazendo os cálculos: uma codificação usando uma taxa de amostragem de 44.100 Hz gerará duas vezes o número de dados que uma codificação usando uma taxa de amostragem de 22.050 Hz, já que a captura será duas vezes maior a partir da forma de onda original.
Portanto, como saber qual é a melhor taxa de amostragem a ser usada nas conversões analógico/digital para ter uma melhor relação entre armazenamento/qualidade? A resposta é o Teorema de Nyquist que foi visto mais acima.

Como o ouvido humano é capaz de escutar sons com frequências de até 20 KHz precisamos usar uma taxa de amostragem de pelo menos 40.000 Hz (40 KHz) para convertermos música com qualidade. Na verdade, o tocador de CD´s usa uma taxa de amostragem de 44.100 Hz, capturando assim mais do que os nossos ouvidos conseguem escutar. Muitas das grandes empresas fazem uma codificação de sinal muito maior do que essa para poder ter a qualidade perfeita do sinal original.

Sinais obtidos – Resolução / Ruído

Temos também a resolução dos sinais obtidos que também influenciam diretamente na qualidade do sinal codificado.

O eixo “y”, que é o eixo das tensões são distribuídas em variáveis de bits que variam de tamanho. 8 bits, 16, 32, etc. Essas variáveis armazenam divisões do eixo “y”. Cada armazenagem em por exemplo, 8  bits é menor que em 16 bits. Em 8 bits um amostra pode ser armazenada em uma variável enquanto a próxima armazenagem pode acontecer no próprio bit não sendo possível distinguir depois qual ponto de amostragem é qual. Ficando esse dois ou mais pontos armazenados em uma única variável, reconhecido assim, como somente um ponto de sinal digital. Com 16 bits podemos fazer essa armazenagem de maneira mais abrangente, pegando pontos distintos próximos e armazenados em variáveis diferentes. Desmembrando mais ainda o sinal e mantendo a qualidade do sinal original.

Então, enquanto a taxa de amostragem nos dá a resolução analógico/digital do eixo “x”, o tamanho da variável nos dá a resolução do eixo “y”.
A relação sinal/ruído (SNR, Signal-to-Noise Ratio), que mede o nível de ruído, pode ser facilmente calculada através desta fórmula, onde n é o número de bits usado no conversor A/D:
SNR = 6,02 x n + 1,76 dB
Quanto maior a relação sinal/ruído (SNR), melhor. Um conversor A/D de 8 bits fornece uma relação sinal/ruído de 49,8 dB, enquanto que a relação sinal/ruído de um conversor de 16 bits é de 98 dB (que é, a propósito, um valor praticamente sem ruído).
Conhecendo a taxa de amostragem e o tamanho da variável (também conhecida como resolução) você pode facilmente calcular o espaço em disco (ou a largura de banda, no caso de transmissão de áudio) que será necessário para armazenar o dado gerado pelo conversor A/D.


Conclusão

Conversão do sinal analógico para o digital depende da taxa de amostragem como sugere o Teorema de Nyquist. Além da taxa de amostragem, fatores como o tamanho da variável (8, 16, 32 bit) e a taxa de ruído também fazem parte da codificação do sinal para que o mesmo não perca sua qualidade.

Aplicando o teorema e calculando o ruído, a partir de dados coletados do sinal original, teremos o melhor tamanho de variável necessária para uma melhor qualidade. O sinal convertido obtido, ou o dado “puro” obtido da codificação analógico/digital é conhecido como PCM, Modulação por Código de Pulso (Pulse Code Modulation). O PCM é também referenciado como “áudio digital sem compactação”.

A partir daí, teremos arquivos de boa qualidade. Porém com tamanhos aumentados em disco. Precisaríamos então de um modo apropriado de compactação desses arquivos. Hoje em dia, já existem muitos compactadores que fazem este trabalho de maneira eficaz sem perda de qualidade, como por exemplo, os arquivos .mp3 que são os mais populares.

Harry Nyquist biografia
Nasceu em Nilsby, Suécia, e emigrou aos Estados Unidos da América em 1907 e começou seus estudos na Universidade de North Dakota em 1912. Realizou um doutorado em Física na Universidade de Yale em 1917. Trabalhou para "AT&T" desde 1917 até 1934, depois mudou-se para "Bell Telephone Laboratories".
Como Engenheiro nos laboratórios de Bell, descreveu o (ruído de Johnson-Nyquist) e desenvolveu a teoria matemática da estabilidade dos amplificadores realimentados.
Seu trabalho teórico na determinação dos requerimientos do largo de banda para a transmissão da informação, o qual foi publicado em "Certain factors affecting telegraph speed" (Bell System Technical Journal, 3, 324-346, 1924), contribuiu à fundação dos avanços posteriores realizados por Claude Shannon, o qual conduziu ao desenvolvimento da Teoria da Informação.
Em 1927 Nyquist determinou que um sinal analógico limitada em banda deveria ser amostrada no mínimo com uma frequência dupla que o largo de banda do sinal para ser convertida em uma representação adequada em forma digital. Nyquist publicou seus resultados no artigo "Certain topics in Telegraph Transmission Theory (1928)". Esta regra é agora conhecida como o teorema de amostra de Nyquist-Shannon.
Retirou-se de Bell Labs em 1954 e morreu em Harlingen, Texas.dá:Harry Nyquistem:Harry Nyquisttenho: הארי נייקוויסט
 Enjoy!

Referencias: 

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